ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§16の問題2の解説です.
問題
崩壊粒子のL系における飛行方向の分布を求めよ.
解答作成
$v_0 > V$のときは,
\begin{align}
\cos \theta_0 &= - \frac{V}{v_0} \sin^2 \theta \pm \cos \theta \sqrt{1 - \frac{V^2}{v_0^2} \sin^2 \theta_0} \tag{16.6} \label{eq_16-m6}
\end{align}
の複号において$+$をとったものを採用するのであった.
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}o_0}{4\pi} &= \frac{1}{2} \sin \theta_0 \, \mathrm{d}\theta_0 = - \frac{1}{2} \mathrm{d} \left( \cos \theta_0 \right) \nonumber
\end{align}
であるから, \eqref{eq_16-m6}を用いて
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} \left( \cos \theta_0 \right)}{\mathrm{d} \theta} &= - 2 \frac{V}{v_0} \sin \theta \cos \theta - \frac{\sin \theta \left( 1 + \frac{V^2}{v_0^2} \cos 2 \theta \right)}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{v_0^2} \sin^2 \theta}} \nonumber
\end{align}
となるから,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}o_0}{4\pi} &= \frac{\sin \theta \, \mathrm{d}\theta}{2} \left( 2 \frac{V}{v_0} \cos \theta + \frac{1 + \frac{V^2}{v_0^2} \cos 2 \theta}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{v_0^2} \sin^2 \theta}} \right) \quad (0 \leq \theta \leq \pi)
\end{align}
となる.
$v_0 < V$のときは, $\theta_0$と$\theta$との関係の2つの可能性を考慮しなければならない. 複号で$-$をとったものを考えると,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}o_0}{4\pi} &= \frac{\sin \theta \, \mathrm{d}\theta}{2} \left( 2 \frac{V}{v_0} \cos \theta - \frac{1 + \frac{V^2}{v_0^2} \cos 2 \theta}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{v_0^2} \sin^2 \theta}} \right) \nonumber
\end{align}
となる. しかし, $0 \leq \theta \leq \theta_{\mathrm{max}}$*1において, これは負になってしまうので, $+$のものと$-$のものの差をとらなければならない. よって,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}o_0}{4\pi} &= \frac{\sin \theta \left( 1 + \frac{V^2}{v_0^2} \cos 2 \theta \right)}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{v_0^2} \sin^2 \theta}} \mathrm{d}\theta \quad (0 \leq \theta \leq \theta_{\mathrm{max}})
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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脚注
*1 : $\theta$が超えることができない$\theta_{\mathrm{max}}$は
\begin{align}
\sin \theta_{\mathrm{max}} &= \frac{v_0}{V} \nonumber
\end{align}
で与えられる.
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